陕西省标准化中学----黑池中学

求函数的值域是函数教学中的一个难点，下面结合实例，介绍求函数值域的几种常用的初等方法，及它们分别适用的题型。

1．观察法：根据各种非负数的特点，及函数的图象、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到一些简单的复合函数的值域。

    例1.求函数 的值域

    分析：因为x-2≠0，则 ，所以 >0且 ≠1，所以y<2且y≠1.

点评：观察法适合的题型是函数解析式中自变量x只出现了一次。

    2.配方法：充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的值域求出函数的值域。

例2.求函数y= -x的值域

分析：先求定义域为x≥0， ≥0则又y= ，可视为关于 的二次函数，由图象知，y≤ .

点评：配方法适合的题型是二次型函数y=Af²(x)+Bf(x)+C。

3.几何法（或数形结合法）:利用函数的图象或结合几何图形的方法。

分析：令 ，

函数y=u+v，则u²-v²=2(u≥0,v≤0)所表示的曲线

如图1，可由等轴双曲线在第四象限内的部分（含

顶点）与直线y=u+v有公共点时的截距的范围，

求出引函数的值域。当直线过顶点A（ ，0）时，

y的最大值为 ，当直线为渐近线u+v=0时与双曲线无交点，所以y∈(0, ].

点评：利用图形的几何性质解题，要求对几何知识有非常好的理解能力；适用于较方便利用代数式的几何意义的题目。

例4.求函数y= 的值域

分析：y= = ，可视y为过点A（cosx,-sinx）、B(2,0)的直线的斜率。显然，A点的轨迹为一个单位圆，如图2，y= 为定点B（2，0）到单位圆上的点的斜率的取值范围，即切线位置时， ≤ ≤ ，

点评：（1）斜率公式用来解决此类题比较方便，原因

是公式简洁、图形上斜率直观。

（2）几何法适合题型：较容易地与几何图形联系的题型。

    4.不等式法：运用均值不等式

例5.求函数 （x>1）的值域。

    分析： = ,当且仅当 即x=2时取得“=”号，因此y∈[7,+∞).

    点评：（1）不等式法适合于解析式能运用均值不等式的函数；

（2）使用中注意公式成立的条件“正、定、等”。

    5.换元法：分为三角换元与代数换元。

    例6．求下列函数的值域

（1）     (2)

分析：（1）函数的定义域为 ,令t= (t≥0)，则x=1-t²，y=1-t²+t= -(t- )²+ 由二次函数的图象可知，y∈(-∞, ]

(2)函数的定义域为-1≤x≤1，令x=sint(t∈[- , ]),则y=sint+cost= sin(t+ ),由t+  ∈[- , ],得y∈[-1, ].

点评：（1）题用代数换元法，适用于y= (其中f(x)与g(x)均为x的一次式)

（2）题用三角换元法，适用于y= (其中f(x)为 x的特殊二次式)

（3）换元法是求无理函数值域的常用方法，在设出新元t(或θ)后，新元的范围的限定要以既不影响x的取值，运算起来又方便为原则。

    6.分离常数（或整式）法：对某些分式型的函数进行分离，使函数解析式更为简洁。

例7.求y= 的值域。

分析：原函数可化为：y=1- ，自变量在函数式中只出现了一次，由观察法可求出值域。

点评：类似于y= 的函数均适用此法，但这种类型的函数往往也可用反函数法求解。

    7.反函数法：求已知函数的反函数的定义域即为原函数的值域。

例8.求y= 的值域。

分析：求出此函数的反函数为f^-1(x)= ,其中x≠ ,即原函数值域为{y|y≠ }

点评：此方法对y= ,且其值域为{y|y≠ }.

8.判别式法:把函数解析式化为关于x的二次式，利用一元二次方程的根的判别式求出值域。

例9.求y= 的值域。

分析：原函数解析式变为：(y+1)x²-x+2y+2=0,当y=-1时，x=0成立；当y≠-1时，此方程的判别式△≥0解出y∈[-1- ,-1+ ]。

点评：（1）此法适用 ≠0）型的函数；

（2）在解题过程中注意对二次项系数是否零的讨论。

（3）对形如例5的y= (a,m均不为0)的函数，可用前面的均值不等式，也可用判别式法。

9.单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域。

例10.求 的值域。

分析：把原解析式化成：y= ,显然是定义域内的减函数，由定义域{x|x≥1},当x=1时，原函数取得最大值为y= ,所以值域为{y|y∈(0, )}

点评：对于一些能确定单调性的函数，用此法是最佳选择。

10.求导法：先利用导函数求出极大值、极小值，再确定最值从而求出值域。

例11.求函数y=x³-3x²+10(x≥-1)

分析：原函数的导函数为y’=3x²-6x,则当x≥2或x≤0时y’>0，原函数递增，否则递减；x=0与x=2分别为极大值与极小值点，结合图象可知，y无最大值，且最小值在f(-1)=6与f(2)=6的较小者，即y∈[6,+∞).

点评：对一些易于求导函数的类型，适合用此方法。

11.有界性法:充分利用三角函数或一些非负数的式子的有界性，求出值域。

例12.求函数 的值域。

分析：由  求得 ，又e^x≥1,所以 ，求出0≤y<1.

点评：（1）此题也可用分离常数法求出

（2）题充分运用e^x的范围从而求出y的范围，若把e^x换成sinx（或cosx）均可用有界性法。

总之，求值域的方法多，要灵活掌握各种题型对应的方法，提倡“对号入座”；但又不拘泥于死板的题型与方法，而多开拓出一种题型的多种求值域的方法，从而给解题提供更多的思路，达到迅速、准确解题的目的

此文曾在2006年8月荣获陕西省教育学会第八次优秀论文和学术成果评选三等奖.